Postgree не та субд, которую стоит "таскать с собой".
Во всяком случае в такой постановке вопроса кривым решением. Таскают с собой обычно встраевыемые субд - sqlite, например. Полноценная СУБД врядли нормально заработает без установки.
А что не так? Речь идет о параллельном выполнении. Известные мне СУБД не умеют через одно соединение выполнять одновременно несколько запросов. Со стороны delphi можно использовать пул соединений, который скроет создание нескольких соединений.
CustomDraw на мой взгляд тупиковый путь. Я бы посмотрел какие-нибудь готовые grid -ы, позволяющие добавлять кнопки и на их основе реализовал задуманное.
VCL, насколько я понимаю, однопоточный и из разных потоков в данной задаче работать с ним смысла наверное нат. Заполняться они наверняка будут по-очереди.
Непонятно почему комбобоксы заполняются долго - сложная выборка из БД или очень много элементов?
Если БД, то несколько потоков могут БД...