Занятная математика

[k0stya]

Давайте здесь выложим интересные задачи по математики (желательно с решениями).
Я имею ввиду не те задачи, которые можно встретить в любом сборнике: нужно что-то редкое...

А также индивидуальные способы решения некоторых задач(которые действительно упрощают решения).
Думаю, все знают сборники задач Сканави!? Можно предложить свои способы на решение некоторых задач ( желательно с указанием номера)

-------------------------------------------------------------------------------------------------
Вот на пример такая задачка:
1.


Найти значение угла ВМС.ОГРАНИЧЕНИЯ: методами 7-го класса
Примечание: AB = BC
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Я знаю 11 способов решения этой задачи без ограничения и 6 с. Решения очень простые, но почему-то у всех возникают проблемы в их поиске.

Вот еще (интересен графический способ решения этой задачи. Я его выложу попозже.)

2.Найти все значения параметра , при каждом с которых уравнение на заданном промежутку имеет не парное количество решений:

Задачки нумеруем, чтоб потом не путатся.

Наша ДОСКА ПОДСЧЕТА
Правильные ответы давали:

Msha(5), okun (1), mistik(1)


Предложите свои решения на эти задачи. Жду...

 

[Msha]

6kostya6 я думаю в некотрой степени вам будет интересна эта тема:
http://dumpz.ru/showthread.php?t=32668

Я бы с удовольствием подумал над вашими задачами, чтобы размять мозги, но увы некогда .

 

[k0stya]

Выкладываю простенькую задачку, чтоб заинтересовать... А то никто и не глянул

3.У фігури, обмеженої лініями

та

вписано прямокутник найбільшої площі (дві вершини лежять на прямій

). Знайти цю площу.

Только на Украинском, а то боюсь перевести не коректно (Буду благодарен тому, кто переведет...)

 

[Mistik]

Перевел

3. В фигуру, ограниченную линиями

и

, вписан прямоугольник максимально возможной плошади, две вершины которого лежат на прямой

. Найти эту площадь.

 

[Msha]

Перевел

3. В фигуру, ограниченную линиями

и

, вписан прямоугольник максимально возможной плошади, две вершины которого лежат на прямой

. Найти эту площадь.

Я придумал подход к решению ). с самим решением пока туго

 

[Vettal FR]

1.

Вот на пример такая задачка:
Найти угол ВМС.ОГРАНИЧЕНИЯ: методами 7-го класса

дак этож легко для первоклашки ( шутка)

 

[Msha]

Vitalik, шутка известная, однако думаю требуется найти его значение ).

---

3-ю задачу я решил. Вот насколько правильно, затрудняюсь сказать )

Я построил вторую прямую, параллельную прямой y=4x. Её уравнение у=4x+b. Найдя точки пересечения второй прямой с параболой y=x^2 я, таким образом, нашёл две вершины прямоугольника и соответственно одну из сторон. Далее я нашёл вторую сторону и выразил площаль. Получилось уравнение S(b), т.е. я выразил площадь через параметр b. Максимуму значения функции S(b) соответствует условие S'(b)=0, откуда я нашёл b и, соответственно, площадь. Получилось (64*3^1/2)/9 = 12,3

В вычислениях я может напутал, но ход решения вроде верный. Хотелось бы увидеть оригинальное решение.

 

[k0stya]

3-ю задачу я решил. Вот насколько правильно, затрудняюсь сказать )

Решения идентичны...
А какое b Ты получил с S’(b)=0? Просто мой ответ не совпал с твоим: хочу найти ошибку...
Мой ответ: (32/9)*корень(3)

 

[k0stya]

Прошу обратить внимание на эту задачу:


4.На колі дано дві точки А і В. Знайти на колі точку С таку, щоб добуток АВ*ВС був найбільшим.

4. На круге дано две точки А и В. Найти на коле точку С такую, чтобы значение АВ*ВС было наибольшим.

Я сам не знаю, как она решается (хотя есть один вариант, но я очень сомневаюсь в его правильности)

 

[Msha]

Решения идентичны...
А какое b Ты получил с S’(b)=0? Просто мой ответ не совпал с твоим: хочу найти ошибку...
Мой ответ: (32/9)*корень(3)

Т.е. у меня в 2 раза больше получилось ). Я в нахождении площади ошибся - зачем-то умножил её на 2. Т.е. я формулу для площади написал не S=a*b, а S=2a*b (это я с периметром спутал, там P=2(a+b)).

Вот она и ошибка, тогда ответы совпадают. b=-8/3

На коле дано две точки

кол в смысле отрезок или я что-то в терминологии не понял?

--
с задачей №2 я похоже не справлюсь,у меня с такими всегда были сложности.

 

[k0stya]

Это я привык на Украинском решать...
коло - круг

-----

Что не кому не встречались задачи такого типа? А то я гуляю выходит...

 

[Msha]

№1
Угол BMC нашёл . Пользовался тригонометрическими функциями - сделал несколько дополнительных построений, нашёл нужные стороны теругольников (если АВ=ВС=а, то получилось что МС=а), итог - <ВМС=80 градусов. Самый длинный и по-моему самый тупой способ решения . Остальные 10 в голову не приходят.

(Что поделаешь, геометрия никогда не была моей сильной стороной)


№4

Если все точки лежат на оркужности (как я понял из формулировки задачи), то максимально возможное произведение АВ*ВС будет соответствовать максимальному значению отрезка ВС, которое будет равно диаметру окружности, т.е. когда тока С располагается напротив точки В.

Если центр окружности обозначит за О, угол межу отрезками АОи ОВ - а, то Отрезок АВ у нас будет 2r*cos(a), а максимально возможный отерзок ВС будет равен 2r. МАксимальное произведение, таким образом, составит 4*r*r*cos(a).


---
На форуме вроде уже проскакивали математические задачки. Я поищу в старых темах, и помещу здесь. Надо только найти, вообще-то это не так уж и просто.

 

[k0stya]

Самый длинный и по-моему самый тупой способ решения . Остальные 10 в голову не приходят.

Да, действительно способ длинный, но не самый из тех одиннадцати... Между прочим, он не входит в программу 7-го класса.

(Что поделаешь, геометрия никогда не была моей сильной стороной)

А вот мне наоборот геометрия больше нравится...

----
В №4 я не такой способ выбрал:
поскольку в формулу площади входит АВ*ВС, то я предположил, что размещение точки С должно быть таким, чтобы эта площадь была максимальной...
В итоге пришел к тому же, что и Ты.

 

[Abraxas]

Только сейчас заметила, что тема переехала ))))
6kostya6
а условия "АВ=ВС" в первоначальном варианте первой задачи не было, кажется. Я права?

 

[k0stya]

Abraxas : То я увлекся и забыл о самом главном пункте условия.

5. Знайти висоту конуса найбільшого об’єму, який вписаний в кулю радіуса R.

5. Найти высоту конуса наибольшего объема, который вписано в шар радиуса R.

6. Відрізок прямої, який з’єднує центр основи правильной трикутной піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти косинус кута між суміжними бічними гранями.

6. Отрезок прямой, который соединяет центр основы правильной треугольной пирамиды со срединой бокового ребра, равняется стороне основы. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями.

 

[Msha]

#5

Сначала я попробовал задать радиус основания конуса r, выразить через него H (высоту конуса), затем найти объём через r. Далее взяв производнуб и приравняв к 0 я смог бы найти r, соответствующее максимальному объёму и далее найти и Н. Но так я получил уравнение, найти решение которого довольно сложно. Тогда я поступил наоборот и выразил радиус основания конуса через Н.

Вот что получается V=1/3 *Pi*H*r^2

r^2= R^2 - (H-R)^2= 2RH - H^2

Подставляю в форумулу для объёма, беру производную и нахожу, что максимальному объёму соответствует Н=4R/3

 

[k0stya]

Писал 17.07.06 экзамен, вот выкладываю некоторые задания...


7.Знайти при якому значенні параметра

рівняння

має два розвязки на проміжку

.


8.Графік функції

та її первісної

дотикаються в точці з абсисою, менше 1.Знайти множину значень змінної

, для яких виконується нерівність

 

[Msha]

Боюсь я по-украински не вникну в суть . Кстати, интересует решение задачи №2.

 

[k0stya]

Вот недавно встретилась неплохая геометрическая задачка:
9.Обєм піраміди, вписаної в правильну зрізану трикутну піраміду, відносится до повної поверхні піраміди як п/(6^1/3). Знайти кут між бічною гранню і площиною основи піраміди.

Боюсь я по-украински не вникну в суть

Перевод скоро будет

Кстати, интересует решение задачи №2.

ok/постараюсь в ближайшее время выкласть

 

[okun]

Возьмите калькулятор.

1. Введите первые три цифры номера Вашего сотового телефона (три цифры после 4-х значной федеральной номерации)
2. Умножьте их на 80.
3. Добавьте к результату 1.
4. Умножьте результат на 250.
5. Добавьте к результату последние четыре цифры Вашего телефонного номера.
6. И... да, черт с ним, добавьте к результату последние четыре цифры еще раз.
7. Отнимите от результата 250.
8. Разделите результат на 2.

Оцените то, что получилось